Considere, no plano cartesiano, os pontos A (1,2) e B (5,2). Assinale a opção que indica um ponto do plano cartesiano que equidista dos pontos A e B.

Uma cidade foi projetada em um sistema de quadras perfeitamente quadradas, com cada quadra medindo 50 metros. Um carteiro inicia sua rota em uma esquina marcada como Ponto A. Ele realiza o seguinte trajeto: Caminha 3 quadras para o leste e para. Depois, caminha 4 quadras para o norte e para. Em seguida, caminha 2 quadras para o oeste e novamente, para. Finalmente, caminha 1 quadra para o sul e finaliza seu trajeto. Após ver onde parou, percebeu que não fez o menor caminho possível entre o Ponto A e a sua última parada. Após fazer alguns cálculos, percebeu que se tivesse programado antes, poderia ter chegado no mesmo lugar da sua última parada, mas teria andado menos. Quantos metros ele teria economizado se tivesse feito esse planejamento antes?

O plano cartesiano é uma ferramenta essencial da matemática, amplamente utilizada para representar graficamente pontos, retas, curvas e outras figuras geométricas em duas dimensões. Criado por René Descartes, o sistema de coordenadas cartesianas estabelece uma conexão entre a álgebra e a geometria, permitindo resolver problemas relacionados a distância, alinhamento e posição de elementos no plano. Considere os pontos A(2,3) e B(8,-1), que representam os vértices de um segmento de reta no plano cartesiano. Determine a distância entre os pontos A e B e assinale a alternativa correta:

Um mapa foi disposto sobre o plano cartesiano xy e representou a localização de dois pontos turísticos pelos pontos A(1, -2) e B(3,4). As coordenadas do ponto do segmento que liga os pontos A e B, e que é equidistante desses dois pontos, é

No plano cartesiano xy, considere os seguintes pontos: A(9,3), B(12,7), C(4,4), D(14,5) e E(11, -1). Entre os pontos B, C, D e E, quantos são os que distam menos que 5 do ponto A?

No sistema de coordenadas cartesianas (x,y) denominado S1, os pontos A e B possuem respectivamente as seguintes coordenadas (x,y): A(0,0) e B(0,10). No sistema denominado S2, os pontos A e B possuem respectivamente as seguintes coordenadas (x,y): A(0,0) e B(–10,0). Se o ponto C possui as coordenadas (x,y) em S1: C(10,0), então as suas coordenadas (x,y) em S2 são dadas, respectivamente, por:

Um sistema de monitoramento de trajetórias robóticas registra a posição de um ponto P(2, -3) que representa um sensor móvel. Em uma etapa de recalibração, esse ponto é inicialmente refletido em relação ao eixo x para corrigir sua orientação. Em seguida, o sistema aplica uma translação descrita pelo vetor v = (4, 1) para reposicionamento final do sensor no plano cartesiano. Considerando essas duas transformações sucessivas, quais são as coordenadas finais CORRETAS obtidas para o ponto processado?

No quintal de André há uma região triangular, com dois dos lados medindo 18 m e 24 m, formando entre si um ângulo de 45°. Como pretende fazer uma terraplanagem neste local, ele precisa estimar a área para informar à construtora que fará o serviço. Utilizando os dados fornecidos, determine a área aproximada desta região triangular. (considere sen(45°) ≈ 0,707)

Tamires é professora de matemática e confeccionou um material lúdico para trabalhar geometria com seus alunos do Ensino Médio. Ela utilizou a sua aliança e um palito de dente para representar, respectivamente, uma circunferência e uma reta tangente a ela. Sabendo-se que a equação da circunferência do exemplo dado por ela é x² + y² − 12x + 16y + 80 = 0 e que o palito a tangencia no ponto (2,−6), qual deve ser a equação da reta tangente, representada pelo palito, a essa circunferência no ponto dado?

Seja λ uma circunferência de equação x² + y² - 10x + 8y + 16 = 0 de centro C, e a reta t que passa pelos pontos A(5, 1) e B(k, p) pertencentes à λ. Sabe-se que t tem coeficiente angular igual a 2. Assim, a área do triângulo formado A, B e C é igual a

Em um triângulo ABC, o ângulo Â=60°, o segmento AB=3x e o segmento AC=4x. Seja M o ponto do segmento AB tal que AM =1/3AB, N o ponto do segmento AC de modo que AN =1/2AC. Seja P o ponto médio de MN. Determine o comprimento do segmento BP.

Num círculo de raio R, duas cordas perpendiculares se cruzam em P, a uma distância d do centro. Se L₁ e L₂ são os comprimentos das cordas, determine L₁² + L₂².

Sejam os pontos A(1,2), B(5,6) e C(7,8). Sobre esses pontos:

Em um condomínio, na portaria, há um monitor em que as ruas são representadas por retas, as quais são denotadas por onde é um número natural positivo. Na Lj j tela do monitor o porteiro observa que as ruas , e são representadas pelas LLL retas de equações L: 4 L L y = x–3, : y = 2x–6 e : y = 3x–4 respectivamente. Se as distâncias entre as retas no monitor são calculadas em centímetr os, é CORRETO afirmar que a área do triângulo delimitad a pela interseção das retas , e é igual a: LLL

Qual será a nova coordenada final do ponto P após as operações realizadas? Assinale a alternativa CORRETA.

Em um sistema cartesiano, a reta s, de equação y = 2x + 4 é perpendicular à reta r. Essas retas se inter- sectam determinando um triângulo T de área 39,2, con- forme mostra a figura. A reta r intersecta o eixo x no ponto de abscissa

Um laboratório de geoprocessamento posicionou dois emissores de sinal nos pontos A(2,5) e B(10,1) do plano cartesiano, e um receptor móvel deve deslocar-se sempre pelo lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B para manter redundância de comunicação. A rota será dada pela mediatriz de AB e precisa ser registrada como equação explícita para o software embarcado. O time deseja também confirmar se o ponto P(4,?1) pertence à rota segura. Considere as definições de ponto médio e de coeficientes angulares de retas perpendiculares. Determine a equação da mediatriz de AB em forma y = ax + b e verifique a pertinência de P, justificando as etapas do cálculo.

Um triângulo, plotado em um plano cartesiano, tem dois vértices pertencentes ao eixo x com abscissas que são, respectivamente, as raízes das funções f(x) = 3x + 15 e g(x) = 1 – . O terceiro vértice é o ponto de intersecção dos gráficos dessas funções. A área desse triângulo, em unidades quadradas, é igual a

Durante um exercício de campo de biologia, dois pesquisadores marcaram a localização exata de dois ninhos de uma espécie de ave rara em uma reserva ambiental. Para facilitar o monitoramento, eles representaram a reserva em um plano cartesiano, onde cada unidade corresponde a 1 km. O Ninho A foi localizado nas coordenadas (-3, 6) e o Ninho B, nas coordenadas (5, -4). A equipe decidiu instalar uma câmera de observação exatamente no ponto médio entre os dois ninhos, para otimizar o monitoramento de ambos. As coordenadas, em quilômetros, onde a câmera deve ser instalada são:

Uma parede de alvenaria de vedação possui 12,0 m de comprimento e 2,8 m de altura, com três aberturas: duas janelas de 1,5 m x 1,2 m cada e uma porta de 0,9 m x 2,1 m. Com base nos critérios do Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção Civil (SINAPI), assinale a alternativa que apresenta a área total da parede a ser considerada para a quantificação de serviços.

Em um plano cartesiano, considere dois pontos: P1(15, 20) e P2(45, 60). Qual é a distância entre esses dois pontos, dado que as coordenadas estão representadas em metros?

No plano cartesiano, a circunferência de equação x 2 + y2 – 6x – 8y – 160 = 0 tem centro C e intersecta o semieixo positivo x no ponto A(16, 0). Sendo B(– 8, 12) um ponto dessa circunferência, a área do triângulo ABC é

Em Bumgard, as ruas são dispostas em um padrão de grade. Se a prefeitura está localizada no ponto A(2,5) e uma biblioteca no ponto B(10,9), qual é o ponto médio entre esses dois locais da cidade?

Calcule e marque a opção da distância do ponto P = (2, −1) à reta 3x − 4y + 5 = 0 em forma exata.

Se as retas indicadas tiverem equações r: 5x – 3y = –11 e s: x + 3y = 33, a área do quadrado ABCD será

Em uma aula de Geometria Analítica, o professor propõe a análise de posições relativas entre retas no plano. Ele solicita que os alunos determinem se duas retas são paralelas, perpendiculares ou concorrentes, dadas as equações 3x + 4y = 7 e 6x + 8y = 12. Qual método analítico mais adequado pode ser utilizado para chegar a uma conclusão?

No projeto de um parque, uma linha reta com extremidades nas coordenadas (200, 400) e (600, 700) representa o caminho principal que liga a entrada ao lago central. Considerando os valores em metros, qual é a medida deste caminho?

Considere que em um plano cartesiano foram marcados dois pontos. O primeiro ponto possui como coordenadas o seguinte par: A (2,6); já o segundo ponto tem o seguinte ponto: B (6,3). Abaixo é possível verificar os pontos localizados. Qual das alternativas apresenta a distância, em unidades de comprimento, entre os dois pontos?

Analise as informações a seguir: I. O círculo determinado pela equação x2 + y2 – 2x - 4y – 20 = 0 tem centro (2;4) e raio = 10. II. A área da região delimitada pelas retas y + x = 0, y – x + 2 = 0 e x = 4 é igual a 9 unidades de área.

Sejam dois pontos que foram definidos em um plano, identificados como P e Q. Esses pontos apresentam as seguintes coordenadas:

P (2,3) Q (10,15)

Caso seja necessário determinar a distância entre esses dois pontos, pode-se afirmar que ela é de aproximadamente: